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German 3

New PDF release: Algebra: LATEX-Bearbeitung von Ole Riedlin

By Ina Kersten

ISBN-10: 393861661X

ISBN-13: 9783938616611

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2 (ii)). Sei n 2 . 3. 2 ergibt also (Sn : An ) = und daher |An | = n! 2 |Sn | = |{1, −1}| = 2 |An | . Die Gruppe An wird alternierende Gruppe genannt. Beispiele. (1) F¨ ur n = 3 ist A3 = {id, (2, 1, 3), (1, 2, 3)}. Mit σ = (2, 1, 3) gilt A3 = {id, σ, σ 2 } Z/3Z. Damit ist A3 eine einfache Gruppe. (2) Die Kleinsche Vierergruppe V4 Z/2Z × Z/2Z l¨asst sich schreiben als V4 = {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}, also V4 ⊂ A4 ⊂ S4 . Es ist V4 Normalteiler in A4 (nach Aufgabe 10). Also ist A4 nicht einfach.

Die Voraussetzung im Satz, dass alle Faktoren abelsch seien, ist entbehrlich, wenn man noch den Hauptsatz von Schreier u ¨ber Normalreihen anwendet, der hier ohne Beweis erw¨ahnt sei: Satz. Je zwei Normalreihen G = Uk ⊃ Uk−1 ⊃ Uk−2 ⊃ · · · ⊃ U1 ⊃ U0 = {e} G = Vm ⊃ Vm−1 ⊃ Vm−2 ⊃ · · · ⊃ V1 ⊃ V0 = {e} einer Gruppe G besitzen isomorphe Verfeinerungen G ⊃ · · · ⊃ Uk−1 ⊃ · · · ⊃ Uk−2 ⊃ · · · ⊃ {e} G ⊃ · · · ⊃ Vm−1 ⊃ · · · ⊃ Vm−2 ⊃ · · · ⊃ {e} Dabei heißen zwei Normalreihen isomorph, wenn jeder Faktor der einen Reihe zu einem Faktor der anderen Reihe isomorph ist und umgekehrt.

Man zeige, dass jede Gruppe der Ordnung 56 einen Normalteiler besitzt, der = {e} und = G ist. Aufgabe 21. Man zeige, dass jede Gruppe der Ordnung 200 einen abelschen Normalteiler = {e} besitzt. Aufgabe 22. Seien p und q zwei verschiedene Primzahlen. Man zeige, dass jede Gruppe G der Ordnung p2 q eine Sylowgruppe besitzt, die Normalteiler in G ist. Algebra, Universit¨ at G¨ ottingen 2006/2007 4 Aufl¨ osbare Gruppen 4 43 Aufl¨ osbare Gruppen Lernziel. allen entscheiden, ob eine Gruppe aufFertigkeiten: In gewissen F¨ l¨ osbar ist.

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Algebra: LATEX-Bearbeitung von Ole Riedlin by Ina Kersten


by Donald
4.0

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