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Download PDF by Herbert Scharfen: Allemand, cinq cents fautes à éviter : Avec exercices

By Herbert Scharfen

ISBN-10: 2130545947

ISBN-13: 9782130545941

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2. On appelle sous-groupe propre d’un groupe G tout sousgroupe distinct de G et de l’élément neutre. Notation. Si H est un sous-groupe de G, on notera H < G. 1. a) (Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +). b) (Q∗ , ×) < (R∗ , ×) < (C∗ , ×). c) Le groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1 est un sousgroupe de (C∗ , ×). d) Le groupe multiplicatif Un des nombres complexes z tels que z n =1 est un sous-groupe de U. e) Le groupe GL(E) des automorphismes d’un k-espace vectoriel E est un sous-groupe de SE .

5 pour une méthode utilisant uniquement le papier-crayon. 36 II GROUPES QUOTIENTS On a vu au chapitre I que, pour tout n de Z, nZ est un sous-groupe de Z et la loi interne de Z, c’est-à-dire l’addition, induit une loi interne sur Z/nZ qui munit cet ensemble d’une structure de groupe. De plus, la projection canonique π : Z → Z/nZ est un morphisme de groupes. L’objectif de ce chapitre est de formaliser cette situation pour un groupe quelconque. Autrement dit, étant donné un groupe G et un sous-groupe H, à quelles conditions peut-on définir un ensemble quotient G/H et une application canonique π : G → G/H, de telle sorte que la loi de G induise sur G/H une loi interne le munissant d’une structure de groupe et que π soit un morphisme de groupes ?

C) Dans le groupe D4 , les éléments R1 et R3 sont d’ordre 4, les éléments H, V , Δ1 , Δ2 sont d’ordre 2. 6. Soient G un groupe et x un élément d’ordre fini de G. Alors o(x) est le plus petit entier positif s tel que xs = 1G . Démonstration. Si pour tout i et j dans Z, i = j, on a xi = xj , alors l’ordre de x est infini, ce qui est contraire à l’hypothèse. e. xp−q = 1G , avec p − q > 0. L’ensemble {s ∈ N∗ , xs = 1G } est un ensemble non vide d’entiers positifs, il admet donc un plus petit élément n.

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Allemand, cinq cents fautes à éviter : Avec exercices corrigés by Herbert Scharfen


by Daniel
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