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Number Theory

Get Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde PDF

By Paulo Ribenboim, Jörg Richstein, Wilfrid Keller

ISBN-10: 0387201696

ISBN-13: 9780387201696

ISBN-10: 3540342834

ISBN-13: 9783540342830

Die Welt der Primzahlen - in faszinierender Weise werden die wesentlichen Ergebnisse über die elementaren Bausteine der natürlichen Zahlen vorgestellt. Grundlegende Sätze und die wichtigsten offenen Fragen und ungelösten Probleme werden von einer wohl einmaligen Sammlung von Rekorden über Primzahlen begleitet. Ein umfangreiches Literaturverzeichnis ergänzt das Buch zu einer wichtigen Quelle für jeden Leser, der sich für die Zahlentheorie und insbesondere für Primzahlen interessiert. In der englischen Originalfassung quickly schon ein Klassiker, erscheint das Buch jetzt aktualisiert in deutscher Sprache.

Paulo Ribenboim ist emeritierter Professor der kanadischen Queen's college, Fellow der Royal Society of Canada und Träger des George Pólya-Preises der Mathematical organization of the United States. Er ist Autor von thirteen Büchern und über one hundred fifty Forschungsartikeln.

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Tats¨achlich wussten schon die Chinesen des Altertums davon und er wird daher als der chinesische Restsatz bezeichnet. Allerdings war er laut A. Zachariou (pers¨onliche Mitteilung) bereits im antiken Griechenland bekannt. Da aber die Griechen so viele Theoreme entdeckten, werde ich in diesem Fall den traditionellen Namen beibehalten. Ich bin sicher, dass die meisten Leser den Satz bereits kennen: Es seien n1 , n2 , . . , nk paarweise teilerfremde Zahlen gr¨ oßer als 1 und a1 , a2 , . . , ak beliebige ganze Zahlen.

Also ¨ berpr¨ m= a a a + 2 + 3 + ··· . p p p Nun leite ich den zweiten Ausdruck unter Verwendung der p-adischen Ziffern von a = ak pk + · · · + a1 p + a0 her. Folglich, a = ak pk−1 + · · · + a1 , p a = ak pk−2 + · · · + a2 , p2 .. a = ak . pk Also ∞ i=0 a = a1 + a2 (p + 1) + a3 (p2 + p + 1) + · · · pi + ak (pk−1 + pk−2 + · · · + p + 1) 1 a1 (p − 1) + a2 (p2 − 1) + · · · + ak (pk − 1) = p−1 1 = a − (a0 + a1 + · · · + ak ) . p−1 Kummer benutzte 1852 das Resultat von Legendre, um die maximale Potenz pm von p zu bestimmen, die den Binomialkoeffizient a+b a = (a + b)!

II Einige grundlegende S¨atze u ¨ber Kongruenzen In diesem Abschnitt beabsichtige ich, einige klassische Primzahltests und Faktorisierungsverfahren zu beschreiben. Diese st¨ utzen sich auf S¨atze u ¨ber Kongruenzen, vor allem auf den kleinen Satz“ von Fer” mat, den alten Wilson’schen Satz sowie Eulers Verallgemeinerung des Satzes von Fermat. Ein Unterabschnitt wird den quadratischen Resten gewidmet sein. Dieses Thema ist von zentraler Bedeutung und steht auch im Zusammenhang mit Primzahltests, worauf ich bei passender Gelegenheit hinweisen werde.

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Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde by Paulo Ribenboim, Jörg Richstein, Wilfrid Keller


by Daniel
4.1

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