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Number Theory

Download e-book for kindle: The method of trigonometrical sums in the theory of numbers by Ivan Matveevich Vinogradov

By Ivan Matveevich Vinogradov

ISBN-10: 0486438783

ISBN-13: 9780486438788

This article starts with a dialogue of common lemmas and advances to an research of Waring's challenge, together with explorations of singular sequence, the contribution of the fundamental durations, and an estimate for G(n). additional subject matters comprise approximation via the fractional components of the values of a polynomial, estimates for Weyl sums, even more. 1954 version.

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2. Die vier Siitze von LIOUVILLE. 1m Jahre 1847 bemerkte J. LIOUVILLE (1809-1882), daB fur elliptische Funktionen erhebliche, zunachst nieht erkennbare Einschrankungen gelten (J. Reine Angew. Math. 88, 277-310 (1880)): Satz A. 1st I E K(O) holomorph, dann ist I konstant. Beweis. Sei P ein Periodenparallelogramm. Da der AbschluB von P kompakt ist, gibt es ein C > 0 mit I/(z)1 ::; C fUr z E P. 6A ein w ~ 0 mit z+w EP. Damit folgt I/(z)1 = I/(z+w)1 ::; C, so daB I auf

A) p(z) ist genau dann reell, wenn es ein wEn gibt mit (2) b) Fur z E imaginiir. , I + R. oder z E I wEn, ist p'{z) reell. Fur z E Beweis. Wegen (1) gilt Hw - w) E n. Dann folgt (3) + iR. , wEn, ist p'(z) rein I. Elliptische Funktionen 38 aus Proposition 5. WeiI p gerade und p' ungerade ist, nehmen p und p' an den angegebenen Stellen nur reelle bzw. rein imaginare Werte an. Sei nun z E O{Wb W2), so daB z nicht von der Form (2) ist. Ware p{z) reell, so wiirde p wegen (3) an den 4 Punkten z, WI + Z, WI + W2- Z, W2 - Z in O(WI' W2) den gleichen Wert annehmen.

1). Nach 1(3) ist klar, daB p an allen Polen das Residuum Null hat. Wegen Satz 2A ist pals elliptische Funktion durch (1) eindeutig bestimmt. Man nennt p die WEIERSTRAsssche p-Funktion (zum Gitter 0). Proposition. a) p ist eine gerade Funktion, d. h. p( - z) = p( z). Insbesondere gilt al = 0 in (1). b) p' ist eine ungerade Funktion, die genau an allen Gitterpunkten von 0 Pole 3. Ordnung hat und sonst holomorph ist. Beweis. a) Die elliptische Funktion j(z) := p( -z) - p(z) ist nach (1) in 0 und daher iiberall holomorph.

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by Anthony
4.4

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